extremos de funciones de varias variables ejercicios resueltos pdf

4 /Length 1690 1 ; x 2 = c ) 9 ; En los siguientes ejercicios, evale cada funcin en los valores indicados. 2 x + + 4 c Podemos graficar cualquier par ordenado (x, y) en el plano, y cada punto del plano tiene un par ordenado (x, y) asociado a l. ) = ) z El grfico de la funcin dada de dos variables es tambin un paraboloide. ) x z x Calcule W(2 ,1),W(2 ,1), W(3,6).W(3,6). ) x c y , para cualquier z<16,z<16, podemos resolver la ecuacin f(x,y)=z:f(x,y)=z: Dado que z<16,z<16, sabemos que 16z>0,16z>0, por lo que la ecuacin anterior describe un crculo de radio 16z16z centrado en el punto (3,2 ). q +IR)y/:R Cuando se trabaja con una funcin de una variable, la definicin de un extremo local implica hallar un intervalo alrededor del punto crtico tal que el valor de la funcin sea mayor o menor que todos los dems valores de la funcin en ese intervalo. x x 2 = curva de nivel de una funcin de dos variables, Mapa de lnea de contorno de la funcin. = 2 x + superficie presenta un mximo con respecto a una direccin y un mnimo con respecto a la direccin perpendicular. el aire caliente que Saltar al documento Pregunta al Experto Iniciar sesinRegistrate + y 36 g , y 2, g 2 , y ( donde xx es el nmero de tuercas vendidas al mes (medido en miles) y yy representa el nmero de tornillos vendidos por mes (medido en miles). ( ; ) Evaluamos las derivadas parciales segundas en el punto crtico: Por tanto, el Hessiano en el punto crtico es. + = El grfico de una funcin z=(x,y)z=(x,y) de dos variables se llama superficie. y f f y PDF Hoja de problemas sobre funciones de ariasv ariables:v derivadas - UAH f = ( ) f , 3 + Por tanto, aplicando el teorema, se trata de un mximo relativo. x x Desde el origen, la funcin crece sobre el eje OY y, sobre el eje OX, decrece hacia la derecha y crece hacia la izquierda. Una funcin de dos variables z=f(x,y)z=f(x,y) aplica cada par ordenado (x,y)(x,y) en un subconjunto DD del plano real 2 2 a un nico nmero real z.z. 0 , Definimos g(t)=f(x(t),y(t)):g(t)=f(x(t),y(t)): Esta funcin tiene un punto crtico en t=163,t=163, que corresponde al punto (0,163),(0,163), que est en el borde del dominio. 2 ) y = 1 x , (Aplicaciones de la diferencial) = x 0 f , Notemos que la funcin nunca es negativa por ser la suma de potencias pares, por tanto, el punto crtico debe ser donde se anula la funcin y, por tanto, se trata de un mnimo absoluto. ) 3 endobj = + 1 = ) 2, f 120 El grfico de esta elipse aparece en el siguiente grfico. 2 Extremos Libres De Funciones De Varias Variables - Unne 1 , x ) Mientras ms trates de modelar el mundo real, ms te dars cuenta de lo restrictivo que es el clculo de una sola variable. 9 donde zz se mide en miles de dlares. El ndice de calor es una temperatura que indica cuanto calor se siente como resultado de la combinaci on de estos dos factores. Adems, este es el nico y x El grfico de f(x,y)f(x,y) es tambin un paraboloide, y este paraboloide apunta hacia abajo como se muestra. 2 c y ) 2 ) 2 Por tanto, el Hessiano en los puntos crticos es: Analizamos el signo de A en el tercer punto crtico: La funcin se anula en 0, por lo que tenemos que estudiar el signo de sta en un entorno de dicho punto (mtodo de las regiones). 2 c = Dibuje un grfico de esta funcin. , + y 2, f 16 Se dice que es un mximo local de si existe un entorno reducido de centro , en smbolos (), donde para todo elemento de se cumple () ().Para que esta propiedad posea sentido estricto debe cumplirse () < ().. Anlogamente se dice que el punto es un mnimo local de si existe . Entonces, la Ecuacin 4.1 se convierte en. , 3 y No hay valores ni combinaciones de, Esta funcin tambin contiene la expresin. 8 0 obj ^_AG=.gY[">{ b@w^#?@$JNZPC/u\@?^qT%3T|-{k*s!5+$Hp?t1Ae aJ?B5 lxmX8VyAR"~5,yQhK("(1U1i8YfhFY(8"A? ) Una funcin continua f(x,y)f(x,y) en un conjunto cerrado y delimitado DD en el plano alcanza un valor mximo absoluto en algn punto de DD y un valor mnimo absoluto en algn punto de D.D. Halle las dimensiones de la caja que requiere la menor cantidad de cartn. de funciones de dos variables en el dominio de la funcin (que consideramos y = +#Q_A~ n*TU^ que se anulen en \(a\) no significa que \(a\) sea un extremo, pero es un requisito indispensable. y e 4 = y 2 ) x 6 x = x , = A continuacin, elevamos al cuadrado ambos lados y multiplicamos ambos lados de la ecuacin por 1:1: Ahora, reordenamos los trminos, poniendo los trminos xx juntos y los trminos yy juntos, y aadimos 88 a cada lado: A continuacin, agrupamos los pares de trminos que contienen la misma variable entre parntesis, y factorizamos 44 del primer par: A continuacin, completamos el cuadrado en cada par de parntesis y aadimos el valor correcto al lado derecho: A continuacin, factorizamos el lado izquierdo y simplificamos el lado derecho: Por ltimo, dividimos ambos lados entre 16:16: Esta ecuacin describe una elipse centrada en (1,2).(1,2). + Por tanto, igualamos a 0 las derivadas parciales para obtener un sistema de ecuaciones: Resolvemos el sistema y obtenemos el punto crtico, Calculamos el Hessiano y aplicamos el teorema. 2 3 ) ( y Al graficar una funcin y = f(x) de una variable, utilizamos el plano cartesiano. 2 Si redistribuye todo o parte de este libro en formato impreso, debe incluir en cada pgina fsica la siguiente atribucin: Si redistribuye todo o parte de este libro en formato digital, debe incluir en cada vista de la pgina digital la siguiente atribucin: Utilice la siguiente informacin para crear una cita. = 1 Llamamos a las derivadas parciales de \(f\) en \(a\) del siguiente modo: Y definimos el Hessiano de \(f\) en \(a\) como, Si \(H > 0\) y \(A<0\), entonces \(f\) tiene un mximo local en \(a\), Si \(H > 0\) y \(A>0\), entonces \(f\) tiene un mnimo local en \(a\), Si \(H < 0\), entonces \(f\) tiene un punto de silla en \(a\). y La funcin podra asignar un punto del plano a una tercera cantidad (por ejemplo, la presin) en un tiempo determinado t.t. Nos basaremos, bsicamente, en dos teoremas: Si la funcin \(f\) admite derivadas , Para simplificar, eleve al cuadrado ambos lados de esta ecuacin: Ahora, multiplique ambos lados de la ecuacin por 11 y aada 99 a cada lado: Esta ecuacin describe un crculo centrado en el origen con radio 5.5. 7 , ( , y y = ) 2, f ( = 2 4 x ) 4 = 16 x x ( y = Tambin tenemos que hallar los valores de f(x,y)f(x,y) en las esquinas de su dominio. x , , = Tema: Funciones de varias variables Ejercicios resueltos Curvas de nivel 6.La siguiente tabla muestra el ndice de calor (en F) como una funci on de la temperatura y la humedad. x y x 2 x 2, f z , , x Esto da. 2 1 ( , , x y , x 2 2 2 Report DMCA Overview 29 0 obj << ) y = 100 + x 2 y x = 4 Nuestro primer paso es explicar qu es una funcin de ms de una variable, empezando por las funciones de dos variables independientes. 2 = y y x 2 Reconocer una funcin de tres o ms variables e identificar sus superficies de nivel. 4 , x x , 3 c Supongamos que z=f(x,y)z=f(x,y) es una funcin de dos variables para la que las derivadas parciales de primer y segundo orden son continuas en algn disco que contenga el punto (x0,y0).(x0,y0). 2 = Por lo tanto, primero calculamos fx(x,y)fx(x,y) y fy(x,y),fy(x,y), y luego las igualamos a cero: Si se igualan a cero se obtiene el sistema de ecuaciones. 2 x El conjunto DD se llama el dominio de la funcin. y 1, f y 2 6 x 2 8, f Nuestra misin es mejorar el acceso a la educacin y el aprendizaje para todos. 9 x y x = + x x 13 0 obj 9 x y para todos los puntos (x,y)(x,y) dentro de un disco centrado en (x0,y0).(x0,y0). y Utilice la estrategia de resolucin de problemas para hallar los extremos absolutos de una funcin para determinar los extremos absolutos de cada una de las siguientes funciones: Utilice la estrategia de resolucin de problemas para hallar los extremos absolutos de una funcin para encontrar los extremos absolutos de la funcin. 4 c ( El volumen de un cilindro circular recto se calcula mediante una funcin de dos variables, V(x,y)=x2 y,V(x,y)=x2 y, donde xx es el radio del cilindro circular recto e yy representa la altura del cilindro. , 2 Asimismo, de la primera ecuacin podemos despejar x: Sustituyendo en la segunda ecuacin obtenemos, Hay dos soluciones que son y = 0, pero ya hemos contemplado este caso. = x Halle el punto de la superficie f(x,y)=x2 +y2 +10f(x,y)=x2 +y2 +10 ms cercano al plano x+2 yz=0.x+2 yz=0. (para puntos prximos a P). Un paraboloide es el grfico de la funcin dada de dos variables. Halle las curvas de nivel para T=40C yT=100C,T=40C yT=100C, y describa lo que representan las curvas de nivel. + 2 La siguiente figura muestra dos ejemplos. 8) La temperatura en cada punto (x;y) de un plano viene dada por una funci on T(x;y). Definicin de extremo. 3 4. El rango de gg es el intervalo cerrado [0,3].[0,3]. x w y , = ( ( ( y Definimos g(t)=f(x(t),y(t)):g(t)=f(x(t),y(t)): Esta funcin tiene un punto crtico en t=1,t=1, que corresponde al punto (1,25),(1,25), que no est en el dominio. Las funciones de dos variables tienen curvas de nivel, que se muestran como curvas en el plano xy.xy. + y + 2 y, f y /Contents 37 0 R z , y /Height 1123 Utilice un CAS para graficar la funcin. 2, z x x y ; e , El punto (x0,y0)(x0,y0) se llama punto crtico de una funcin de dos variables ff si se cumple una de las dos condiciones siguientes: Halle los puntos crticos de cada una de las siguientes funciones: Halle el punto crtico de la funcin f(x,y)=x3+2 xy2 x4y.f(x,y)=x3+2 xy2 x4y. x = , Determine la ecuacin de la traza vertical de la funcin g(x,y)=x2 y2 +2 x+4y1g(x,y)=x2 y2 +2 x+4y1 correspondiente a y=3,y=3, y describa su grfico. Cuando se trabaja con una funcin de dos variables, el intervalo cerrado se sustituye por un conjunto cerrado y delimitado. x y. f(x,y)=e(x2 +y2 +2 x)f(x,y)=e(x2 +y2 +2 x) grandes. y Halle el dominio de las siguientes funciones. x x = Los puntos crticos son aquellos que anulan a las derivadas parciales. 2 0 x ( ) Es un punto donde la ( El rango de ff es el conjunto de todos los nmeros reales zz que tiene al menos un par ordenado (x,y)D(x,y)D de manera que f(x,y)=zf(x,y)=z como se muestra en la siguiente figura. endobj necesaria pero no suficiente, esto es, ejercicios y problemas resueltos con solucin de funciones de varias variables matemticas universidad UNED http://profesor10demates.blogspot.com.es/ + y y = PDF Problemas Resueltos de Funciones x Si ff tiene un extremo local en (x0,y0),(x0,y0), entonces (x0,y0)(x0,y0) es un punto crtico de f.f. Supongamos que z=f(x,y)z=f(x,y) es una funcin de dos variables definida y continua en un conjunto abierto que contenga el punto (x0,y0).(x0,y0). ) 3 + x stream + = y (Derivadas parciales) + x endobj , x ) , + x + e = << /S /GoTo /D (section.5) >> = = un entorno, por ejemplo, sobre los ejes: Estudiamos la monotona de la funcin f(x,0), Sabemos que la derivada se anula en x = -1 , 0 , 1, Y tenemos que es decreciente, creciente, decreciente y creciente, respectivamente, Por tanto, se trata de un punto de silla. /MediaBox [0 0 595.276 841.89] ( 4 ( + Funciones de varias variables. 1 0 obj , Halle el extremo absoluto de la funcin dada en el conjunto cerrado y delimitado indicado R.R. y x = x x + 4 << /S /GoTo /D (subsection.5.2) >> ) 2 (Federico Arnau Moya), Derecho Penal Parte Especial 21 Edicin 2017 (Muoz Conde), Teora Del Conocimiento (Snchez MecaDiego), Ejes De La Literatura Inglesa Medieval Y Renacentista (Cerezo Marta; De La Concha ngeles), Fundamentos De Psicobiologa (Abril Alonso Agueda Del; Ambrosio Flores Emilio; Blas Calleja M Rosario De; Caminero Gmez ngel A.; Garca Lecumberri Carmen; Pablo Gonzlez Juan Manuel De), O Contrato Social (Jean-Jacques Rousseau), Ciencias De La Tierra (Tarbuck Edwar J.; Lutgens Frederick K.), Historia De La Filosofa I (Guillermo Fraile), Derecho Mercantil (Roberto l. Mantilla Caballero y Jos Maria Abascal Zamora), La Edad Media: Siglos XIII-Xv (Donado Vara J.; Barquero Goi C.; Echevarra Arsuaga A. + 10 2, f ) x = x z 4.- Consideremos una placa circular de radio, 10.- Encontrar los puntos donde la funcin f(x, y) = x, Derecho de la empresa y del mercado (Esperanza Gallego Snchez), Lecciones de derecho civil I. ( puntos c y y + y = 2 = z } !1AQa"q2#BR$3br ; Una empresa de transporte maneja cajas rectangulares siempre que la suma de la longitud, la anchura y la altura de la caja no supere 9696 pulgadas Halle las dimensiones de la caja que cumple esta condicin y tiene el mayor volumen. y 4 , ) , 2 = ( El, laterales es, por unidad de rea, triple que, Hallar la ecuacin del plano que pasa por el punto, = 2, representarla con Derive e identificar sus, Exmen 2015, preguntas y respuestas - interpolacin, Clasificacin de las universidades del mundo de Studocu de 2023, Teoras de la Educacin e Historia de la Escuela (GMEDPR01), Historia Del Pensamiento Pedaggico (800360), Prehistoria Reciente de la Pennsula Ibrica (67013070), Gnero y Literatura en los Pases de Habla Inglesa (6402217), Historia Poltica y Social Contempornea de Espaa (69901024), Salud en Contextos Educativos y Laborales (15091109), Estrategia y Organizacin de Empresas Internacionales (50850004), Aprendizaje y desarrollo de la personalidad, Big data y business intelligence (Big data), Delincuencia Juvenil y Derecho Penal de Menores (26612145), Operaciones y Procesos de Produccin (169023104), Examen 6 Febrero 2019, preguntas y respuestas, Apuntes Completos Hematologa, Temas 1-14.pdf, Apuntes Psicologa de la Personalidad Tema 1 - Introduccion al estudio de la personalidad: Unidades de analisis, Introduccion a la Criminologa Capitulo 1, ARTE Y Poder- Resumen DEL Temario Completo, Cuadros-resumen jurisdiccin contencioso-administrativa (Tema 19), PART 2 -Cambridge-English-First-Use-of-English-Part-2-With-Answers, 155135793 Libro Autoescuela Permiso B de conducir pdf, Prctico - Ejercicios resueltos. + %&'()*456789:CDEFGHIJSTUVWXYZcdefghijstuvwxyz ( y y /Resources 36 0 R , ; , y y x , x z y que anulan las derivadas parciales. 4.12 Valores Extremos De Funciones De Varias Variables Consulte el problema anterior. 4 , 3 << /S /GoTo /D [22 0 R /Fit] >> , y x 9, f x y y Una vez ms, definimos g(t)=f(x(t),y(t)):g(t)=f(x(t),y(t)): Esta funcin tiene un punto crtico en t=2 9,t=2 9, que corresponde al punto (50,2 9). , y y 2 y x + ) Ejercicios Resueltos de Extremos de Funciones en Varias Variables | PDF = 2 Halle el volumen mximo de una lata de refresco cilndrica tal que la suma de su altura y su circunferencia sea 120120 cm. f 4 ) ) Halle el punto en el plano 2 xy+2 z=162 xy+2 z=16 que est ms cerca del origen. , f Para aplicar la prueba de la segunda derivada para hallar los extremos locales, siga los siguientes pasos: Halle los puntos crticos de cada una de las siguientes funciones y utilice la prueba de la segunda derivada para hallar los extremos locales: Por lo tanto, x=1x=1 o x=3.x=3. x ; x = 0 1 y , 3 2 = estn autorizados conforme a la, Ecuaciones paramtricas y coordenadas polares, rea y longitud de arco en coordenadas polares, Ecuaciones de lneas y planos en el espacio, Funciones de valores vectoriales y curvas en el espacio, Diferenciacin de funciones de varias variables, Planos tangentes y aproximaciones lineales, Integrales dobles sobre regiones rectangulares, Integrales dobles sobre regiones generales, Integrales triples en coordenadas cilndricas y esfricas, Clculo de centros de masa y momentos de inercia, Cambio de variables en integrales mltiples, Ecuaciones diferenciales de segundo orden, Soluciones de ecuaciones diferenciales mediante series. x y y y y Incremento de una funcin - Teorema del valor medio - Funciones diferenciables 04-1. ) (a) Un mapa topogrfico de la Torre del Diablo, Wyoming. Una de las formas en que esto puede ocurrir es en un punto de silla. x x ; En los siguientes ejercicios, halle el dominio de la funcin. y y x x x Tema 1: Funciones de varias Variables | Clculo II - UNSJ 2 2 , , + , , 2 = = + 2 + 3 2 2 x ) 2 4 Un conjunto est delimitado si todos los puntos de ese conjunto pueden estar contenidos en una bola (o disco) de radio finito. ( f ) Utilizando los valores de cc entre 0y30y3 da lugar a otros crculos tambin centrados en el origen. + Halle los valores de xx como yy que maximizan la ganancia y halle la ganancia mxima. = , L4L4 es el segmento de lnea que une (0,0)para(0,25),(0,0)para(0,25), y se puede parametrizar mediante las ecuaciones x(t)=0,y(t)=tx(t)=0,y(t)=t por 0t25.0t25. y = Podemos repetir la misma derivacin para valores de cc menos de 4.4. ) y Cuando se trabaja con una funcin de dos o ms variables, se trabaja con un disco abierto alrededor del punto. z x + C cC" c y f 49 ; + ( Es una condicin + y En la segunda funcin, (x,y)(x,y) puede representar un punto en el plano, y tt puede representar el tiempo. 25 endobj x + y ( PDF Diferenciabilidad de funciones de varias variables - Cartagena99 4 x x x = x , ; = ( ( 4 08. Ejercicios de Mximos y mnimos de funciones de varias variables 2 (50,2 9). ) Un mapa topogrfico contiene lneas curvas llamadas curvas de nivel. = 22 0 obj << ( FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES Escuela Universitaria de Ingeniera Tcnica Industrial Bilbao 1. + 8 y , , 4 x y x , f x 2 3 Hasta ahora, solo hemos examinado funciones de dos variables. 1999-2023, Rice University. g(x,y)=exy(x2 +y2 ),P(1,0)g(x,y)=exy(x2 +y2 ),P(1,0) grandes. % Si redistribuye todo o parte de este libro en formato impreso, debe incluir en cada pgina fsica la siguiente atribucin: Si redistribuye todo o parte de este libro en formato digital, debe incluir en cada vista de la pgina digital la siguiente atribucin: Utilice la siguiente informacin para crear una cita. 2 4 ; x 2, g = 2 5 0 obj x Supongamos que z=f(x,y)z=f(x,y) es una funcin de dos variables para la que las derivadas parciales de primer y segundo orden son continuas en algn disco que contenga el punto (x0,y0).(x0,y0). 2 = x f ) Dos de estos ejemplos son. 3 ( 2 = 4 Esta ecuacin describe un hiperboloide de una hoja como se muestra en la siguiente figura. 2 ) ) ( Estrategia para la resolucin de problemas: Usar la prueba de la segunda derivada para funciones de dos variables, Hallar los valores extremos de una funcin de dos variables, Estrategia para la resolucin de problemas: Calcular valores mximos y mnimos absolutos. = x La superficie de nivel se define por la ecuacin 4x2 +9y2 z2 =1.4x2 +9y2 z2 =1. + 2 x Halle y grafique la curva de nivel de la funcin g(x,y)=x2 +y2 6x+2 yg(x,y)=x2 +y2 6x+2 y correspondiente a c=15.c=15.

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